逆等线、最值问题 (近几年中考相比流行此类题目)兼职学生

等腰△ABC中，E、F鉴识是腰AB、AC上的动点，且AE=CF，即逆向特别，则EF称为等腰△ABC的逆等线。一般情况下题目中有两个莫得首尾承接的线段特别，也归为逆等线问题。

图片兼职学生

由于AE与CF莫得首尾承接，是以一般通过平移、构造全等三角形等措施迂回线段，使它们产生干系。

这个例题是最常见的逆等线求最值的问题

固定的△ABC中，D、E鉴识是AB、AC上的动点，且AD=CE，求BE+CD的最小值。

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如图，通过构造全等三角形，△CEF≌△ADC，使D、E双动点诊疗成单动点，BE+CD诊疗成BE+EF，最小值便是定点B、F间的距离。具体题目中会给出一些特地角度，便于琢磨BF的长度，最常见的是等边三角形，直角三角形。

底下是进修题，构造措施相等多，领会仅供参考。

①如图△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，E、F鉴识在AB、AC上，且AE=CF，AD⊥EF交BC于D，求证EF=AD。

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②等边△ABC的边长是6，E、F是AB、AC边上的动点，且AE=CF，求EF的最小值。

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③如图△ABC，∠ABC=60°，点D、E鉴识在BC、AC上，且AE=CD，若AB=4，AC=5，求AD+BE的最小值。

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④如图△ABC，∠BAC=90°，点D、E是BC边上的动点，且BD=CE，若BC=5，求AD+AE的最小值。

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⑤如图，矩形ABCD，AB=3，AD=4，点E、F鉴识是线段AC、BC上的动点，且AE=CF，求DE+DF的最小值。

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⑥如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，G是AB中点，E、F鉴识是AD、CD边上的动点，且CF=2AE，求GF+2BE的最小值。

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以下是进修题的谜底与领会，解题措施多各样种，仅供公共参考。

①谜底：简证如下

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把EA平移到FG，斡旋CG、AG，则四边形AEFG是平行四边形，AG=EF。△FCG是等腰直角三角形，∠ACG=45°。

因为∠CAG=∠BAD，AB=AC，∠ACG=45°=∠B，是以△ACG≌△ABD(ASA)，AG=AD，是以EF=AD。

②谜底：3

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运用条目AE=CF，构造△CDF≌AFE。

如图，过C作CD∥AB，且CD=AF，则∠DCF=∠FAE，△CDF≌△AFE(SAS)，是以DF=EF。

易知四边形BCDE是平行四边形，是以DE=BC=6。

EF+DF=2EF≥DE，当EFD三点共线时取等号(此时EF∥BC)。是以EF的最小值是3。

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③谜底：√61

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运用AE=CD，构造△AEF≌CDA，把AD迂回到EF，则与BE承接。

过点A作AF∥BC，且AF=AD。则∠EAF=∠C，是以△AEF≌△CDA(SAS)，是以AF=AC=5。

诊疗成BE+EF的最小值，且B、F皆是定点，BE+EF≥BF

接下来求出BF即可。延迟FA，过B作BG⊥FA于点G，则∠ABG=30°，AG=2，GF=7，BG=2√3。

BF²=BG²+GF²=12+49=61，是以BF=√61，即AD+BE的最小值是√61。

④谜底：5

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运用BD=CE，构造△BDF≌CEA，把AE迂回到DF，则与AD承接。

过B作BF∥AC，BF=AC，则∠DBF∠C，是以△BDF≌△CEA(SAS)，是以BF=AC，DF=AE。

AD+AE=AD+DF≥AF。

接下来求出AF即可。易知△ABF≌△BAC(SAS)，是以AF=BC=5，即AD+AE的最小值是5。

⑤谜底：√985 / 5

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运用AE=CF，构造△AGE≌CDF，把DF迂回到EG，则与DE承接。

过点A作AG⊥AC，且AG=CD。则△AGE≌△CDF(SAS)，是以AG=CD=3。

诊疗成DE+EG的最小值，且G是定点，DE+EG≥DG

接下来求出DG即可。延迟DA，过G作GH⊥DA于点H，则△GAH∽△ACD(一线三垂直)，AC=5，容易求出AH=9/5，GH=12/5，是以DH=29/5，直角△DHG中左证勾股定理求出DG=√985 / 5。

⑥谜底：√26

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此题给的是线段的2倍关系，不可构造全等，然则不错构造相通。

运用CF=2AE，构造△CHF∽△ABE，把2BE迂回到FH，则与GF承接。

延迟BC至H，使CH=2AB，则△CHF∽△ABE，是以FH=2BE。

GF+2BE≥GH。

接下来求出GH即可。GB=1，BH=BC+CH=1+4=5，左证勾股定理可得GH=√26。

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